Limas # Sudut antara Garis dan Bidang

(1). Cari Sudut Limas Segitiga Segi Empat Beraturan

Soal 1. pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah….
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° E. 75
Misal panjang rusuk = 6, maka TA = TB = TB = TC = AB = BC = CD = AD = 6

Karena bayangan proyeksi TA jatuh pada garis AO maka Bidang ABCD diwakili oleh garis AO.

O adalah titik bantu perpotongan kedua diagonal persegi ABCD, artinya AO = ½ AC.

AC adalah sisi miring segitiga ABC.AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 6²
AC = √72 = 6√2, AO = ½ x 6√2 = 3√2

OTA adalah segitiga siku.
cos α = AO / TA = 3√2/6 = ½ √2, α = 45°

jawaban C
Soal 2. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 √3 cm. Sudut antara TC dan bidang ABC adalah α, maka tan α = ….

dp bbm limas segitiga beraturan samasisi

Karena bayangan proyeksi TC jatuh pada garis CQ maka Bidang ABC diwakili oleh garis CQ.

Ciri-ciri segitiga sama sisi CQ = 2/3 x CP

P adalah titik tengah AB karena CP adalah simetri lipatBP = ½ AB = ½ x 6 = 3
BC = AB = 6

BCP adalah segitiga siku-siku.
BC² = BP² + CP²
6² = 3² + CP²
36 – 9 = CP² → CP = √27 = 3√3

CQT adalah segitiga siku, CT sisi miringnya.
TC = TA = 6√3 kita perlu mencari TQ

TC² = CQ² + TQ²
108 = 12 + TQ² → TQ = √96 = 4√6

» tan α = TQ/CQ = 4√6 : 2√3 = 2√2 jawaban E
Soal 3. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah ….
A. √3/6 B. √2/3 C. √3/2 D. √2/2 E. √3/2
Intro : sebenarnya limas TABC ini identik dengan yang di soal 2, bedanya menggunakan rumus kosinus.

nilai kosinus sudut antara garis tc dan bidang abc pada limas segitiga bearaturan tabc

Alas limas bentuknya segitiga dengan sisi 6 cm. dan semua sisi limas adalah segitiga sama sisi dengan rusuk 6 cm.

Perhatikan jika T’ adalah proyeksi T pada alas ABCdan D adalah titik tengah AB, maka CD adalah ruas garis yang melewati T’.

Perhatikan segitiga CDT, karena TT’ tegak lurus CD, maka bidang CDT tegak lurus bidang ABC.

Karena TC berada di CDT dan CDT tegak lurus ABC, maka sudut yang dibentuk oleh garis TC dan bidang ABC adalah sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah sudut

dp bbm phytagoras segitiga siku siku sama kaki

Jawaban C
Soal 4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak √3 cm. Nilai tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ….
A. ¼ √2 B. ½ √2 C. 2√2/3 D. √2 E. 2√2

tangen sudut antara garis td dan bidang alas abcd limas segiempat beraturan

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2√2 cm.

Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T’terletak di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).

Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT’)

menghitung hypotenusa segitiga siku siku

Jawaban B
Soal 5. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ….
A. √3/3 B. √2 C. √3 D. 2√2 E. 2√3

tangen sudut antara garis pt dan alas qrst limas segiempat

Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.

Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3√2 cm.

Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P’. Dimana P’ terletak di perpotongan kedua diagonal alas.

Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh garis PT dengan TR (∠PTR).

Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP’, maka akan lebih mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku tersebut. (∠PTR = ∠PTP’)

Jawaban C.

(2). Limas Segienam Beraturan

Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6√3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah ….

Jawab: E Bahas:
Nilai sinus sudut yang ditanya antara rusuk tegak dan bidang alas bukan antara sisik tegak dan bidang alas limas.

Jadi ▲ASB adalah sama sisi, AS sama panjang rusuk AB. Jika di lihat dari puncak limas bayangan sisi tegak AT jatuh di atas garis AS maka AS mewakili alas limas.

(3). Limas Alas Segiempat Beraturan T.ABCD

Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ….

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° E. 90°
Jawab: C Bahas:
Alas berbentuk persegi, AB rusuk r=4 cm, AC diagonal r√2=4√2 cm, TA dan TC adalah rusuk tegak 4 cm.